Invertibility and permutability

Everyone I have asked so far seem to agree that if a rule in a sequent calculus system permutes down all the other rules of this system, than this rule is invertible, and vice versa. But when I ask for a proof of that, no one knows about it. Is it folklore? Is it so obvious that I cannot see it?

I started writing about this invertibility issue here: https://www.dropbox.com/s/1cby7a3qgraiyyd/invertibility.pdf?dl=0 [1]

If any one out there has more information or ideas, I’d be happy to be informed.

[1] Thanks to Elaine Pimentel, who read and commented on the first draft, and with whom I’ve had many insightful discussions, and to Arnold Beckmann for having pointed out the induction proof of invertibility (and to Norbert Preinning for a lovely workshop).

Observação

Observar faz bem. Escutar, refletir, pensar. Artes perdidas nesse nosso tempo de conectividade e posts e compartilhamentos. Falar ficou muito fácil, dizer qualquer coisa que está na sua cabeça, mostrar fotos, anunciar onde está ou o que está fazendo. No meio desse caos, ninguém pára pra observar mais. Filosofia é uma arte perdida, até para os filósofos.

É uma pena. Um pouco mais de reflexão e discussões (relevantes) cairía bem no mundo. Quando observamos, percebemos coisas certas, coisas erradas e o quão subjetiva é a distinção entre certo e errado. Entendemos outros pontos de vista e fica mais fácil encontrar um meio-termo. Mas para isso, é preciso haver silêncio. Silêncio interior. E uma página em branco. Precisamos ser capazer de ver o mundo sem pré-concepções. Só assim as questões relevantes são perguntadas. E precisamos escutar as respostas, e refletir. Mas não há mais tempo para perguntar, escutar, refletir. Só há tempo para falar, gritar, compartilhar.

Uma discussão na qual todas as partes estão escutando é bastante frutífera. Não concordamos sempre (nem ao início, nem ao final), mas aprendemos bastante, e é isso que importa. As pessoas não devem discutir para convencer os outros da sua opinião, mas para aprender sobre as outras opiniões. Tentar resolver problemas juntos, apesar das discordâncias. Hoje todos parecem muito preocupados em se impôr. Você *precisa* ter uma opinião formada, você *precisa* rebater os outros argumentos contra, você *precisa* dizer aos outros em que lado você está. Isso virou sinônimo de inteligência.

Quando estamos tão anciosos para falar, não estamos escutando. Se não escutamos, não aprendemos e não evoluímos. E estamos precisando tanto de uma evolução…

Escutar é inteligente, refletir é inteligente, perceber que não podemos ter uma opinião bem fundamentada sobre tudo é inteligente. Ou talvez eu deveria dizer sábio.

An observation

Observing is good. Listening, reflecting, thinking. Lost arts in our time of connectivity and posts and shares. It is too easy to speak, blurt out anything on your mind, upload pictures, announce your position or current activity. In the midst of the mess, no one takes their time to observe any more. Philosophy is a lost art, even for philosophers.

It is a shame. The world could use a little bit more reflections and (fruitful)
discussions. When observing we see right things, wrong things and the blurry line between right and wrong. We learn other points of view, it becomes easier to find a middle ground. But for that, there needs to be silence. Inner silence. And a blank page. We need to be able to see the world without preconceptions. Only then the relevant questions are asked. And we need to listen to the answers, and reflect on them. There is no time anymore. No time for asking, listening, reflecting. Only time for speaking, shouting, sharing.

A discussion where all parties involved are listening is very rewarding. We don’t always agree (neither on the beginning nor the end), but we learn a lot, and that is the important thing. People should not discuss to try to convince the others of your point of view, but to learn about the other side. To try and solve problems together, in spite of disagreeing opinions. Nowadays everyone is too worried about imposing themselves. You *need* to have an opinion, you *need* to refute quickly the other side, you *need* to let other people know your opinion. This is the new smart.

When people are so eager to talk, it means they are not listening. When we don’t listen, we don’t learn and don’t evolve. And we are so much in need of some evolution…

Listening is smart, reflecting is smart, realizing you cannot have a well-founded opinion for everything is smart. Or maybe I should say wise.